2017年电子科技大学概率论复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E （X ）.
【答案】因为X 的可能取值为0，1，2，…，5，且
将计算结果列表为
表
由此得
2． 一批产品共有100件，其中10件是不合格品. 根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接收，否则就要重新对这批产品逐个检验.
（1）试求5件中不合格品数X 的分布列； （2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？ 【答案】（1）X 的分布列为
计算结果列表略.
（2）“需要对这批产品进行逐个检验”则意味着“检验5个产品，至少有一个不合格品”，因此所求概率为
3． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：
（1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数.
【答案】（1
）设该书样稿中总错字的个数为
甲校对员识别出错字的概率为
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乙校对员识
别出错字的概率为为
由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同一错字能被甲、乙同时识别的概率
根据频率替换思想有
由独立性可得矩法方程解之得
（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即
譬如，若设a=120, b=124, c=80, 则该书样稿中错字总数的矩法估计为
被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个.
4． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.
【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）
5． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为
试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则
所以至少有一个电子元件损坏的概率为
6． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点, 求两点间的距离小于a/3的概率.
【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离, Y 为线段中点右边所取点到端点a 的距离, 则
且X 与Y 相互独立, 它们的联合密度函数为
而P （x , y ）的非零区域与
的交集为图阴影部分, 因此, 所求概率为
其中
而未
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图
7． 设电路由A ，B ，C 三个元件组成，若元件A ，B ，C 发生故障的概率分别是0.3，0.2，0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：
（1）A ，B ，C 三个元件串联； （2）A ，B ，C 三个元件并联；
（3）元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成.
【答案】设事件A ，B ，C 分别表示元件A ，B ，C 发生故障.
（1）因为串联电路中任一元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为
（2）因为并联电路中所有元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为
（3）由题意知，所求概率为
8． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
【答案】记
又记
由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为
所以由
得P （E ）=0.5.
此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性. 在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的. 事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位. 利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算. 此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下：
因为甲掷n+1
次硬币共有
种可能，乙掷n 次硬币共有种可能，
因而样本点的总数为
则所求概率
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又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，