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一、选择题

1． 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于

因此

线性无关，且都是

的解.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.

2． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）.

A. 如果B. 如果秩

则则

. 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

则

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C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】

3．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

秩

未知量个数，

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的. 4． 设

则3条直线

（其中

）交于一点的充要条件是（ ）

.

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

方程组①有惟一解

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由秩A=2, 可知可由 5．

设

线性表出.

线性无关，由秩可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D. 是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到

基

【答案】（A ）

二、分析计算题

6． 设是非齐次线性方程组

证明： ⑴令则

线性无关.

其中或是

【答案】（1）设则

用A 左乘等式两边得由

故

进而

（2）由于

故

代入式（3-32）注意到

线性无关.

线性无关，立得

，则

的解，或是AX=0的解（i=l，2，... ，s ）

（2）已知向量组_

的一个解，

是导出组的一组基础解系，

上式右端t+1阶方阵可逆，

故向量组

线性无关，

故

线性表示；

若

是

的解，

则

可用

线性表示，总之向量

组

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与若

可

用

是

等价. 由（1

）知的解，

则

可

用

线性表示，

进而也可用

线性表示，

故