2017年南京理工大学理学院840高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
3． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
使AB=0, 则（ ）
.
当C.
时，由AB=0，左乘可得矛盾，从而否定A ，故选
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
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【答案】B 【解析】
但当a=l时，
二、分析计算题
6． 设T , S是复数域上n 维空间V 的线性变换且可交换. 证明：
①T 的特征子空间对S 也不变； ②T , S至少有一个公共特征向量.
【答案】①设是T 的一个特征值，是T 的属于的特征子空间，则又任取
则
于是由TS=ST得
因此，对S 不变. 用
特征向量，故
但因为
7． 设
（1）如果（2）如果【答案】（1）因为组合. 由
（2）对任一 8． 设
是线性空间V 的线性变换.
则
【答案】任取则由于
并令
故得
于是由（17）得
故
又若
则仍由
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当然对T 不变.
即对S 也不变.
中的诱导变换，从而
在
中必有特征值，设为
而
为相应
②因为T 是复数域上n 维空间的线性变换，故T 必有特征值. 令为其一特征值，则由①知
，
表示S 在
故亦有即是T ，S 的公共特征向量.
是欧氏空间V 的一组基，证明： 使
对任一可推出
由
有因此
可得
得那么
那么
由（1）得
都是
的线性
是欧氏空间的一组基，对任一
证明：如果
知：