2017年南京农业大学理学院822高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
4． 设A 是
A. 如果
矩阵，则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
B. 如果秩则有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
二、分析计算题
6． 设
是关于内积
正交化：易知
于是得正交基：
再标准化：由于
且
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作成的欧氏空间. 试求其一标准正交基.
【答案】先将基
故得
7． 已知
的一标准正交基为：
的线性变换在基
下的矩阵为
求在基
下的矩阵. 【答案】因为
记上式右端的4阶矩阵为P , 则在基下的矩阵是
8． 在全体正实数集合
又由于
有
中，规定可验证V 构成R 上线性空间，求dimV .
必线性无关. 不妨令
【答案】该空间中零元素为1, 所以任取非零正实数
所以2是线性空间V 的一个基，
9． 设矩阵A 的伴随矩阵
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