2017年黑龙江大学128控制理论基础之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 从数字1，2，…，9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率.
，【答案】记事件A 为“至少取到一次5”，事件B 为“至少取到一次偶数”，则所求概率为P （AB ）因为
所以
下表对一些不同的n ，给出P （AB ）的值：
表
从上表可以看出：P （AB ）是随着n 的増加而增加的，直至趋向于1，这是符合人们直观感觉的.
2． 设事件A ，B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4，求P . （A ）及P （B ）
【答案】由题设知
又因为A ，B 独立，所以由
解得P （A ）=P（B ）=0.5.
3． 对泊松分布P （θ），
（1）求
，使g （θ）的费希尔信息量与θ无关. （2）找一个函数g （•）【答案】⑴（2）所以，
令
（其中为任意常数）.
，（其中c 为大于0的任意常数）则
4． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间
【答案】
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是什么？
5． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.
【答案】设事件
为“恰好结成n 个圈”，记
又记事件B 为“第1根绳子的两个头
容易看出
所以得递推公式
由此得
6． 设
，对k=l，2，3，4，求
与
进一步求此分布的变异
相接成圈”，则由全概率公式得
系数、偏度系数和峰度系数.
【答案】因为
所以
此分布的变异系数、偏度系数和峰度系数分别为
由此可见：指数分布的变异系数、偏度系数与峰度系数均与参数
无关. 它永远是正偏尖峰.
7． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.
【答案】记事件A 为“目标被击中”，事件
所以
考虑到
故有
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为“甲射中目标”，事件为“乙射中目标”.因为
8． 有两个班级同时上一门课, 甲班有25人, 乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分, 标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？
【答案】
记绩
,
为甲班第i 个学生的成绩
, 因为
为乙班第j 个学生的成所以由林德伯格-莱维中心极限
定理, 甲班平均成绩超过80分的概率为
同理可计算乙班平均成绩超过80分的概率为
所以甲班的平均成绩超过80分的概率大.
二、证明题
9． 证明:若与
【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为
, 其中. 由
且v 与W 相互独
容易算得
则当
时有
由此写出E （F ）
从而可得当r=l时, 只要
就有
在其他场合, 不存在.
当r=2时, 只要
就有
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