2018年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
2． 证明:若明:
与
是未知参数
时上式达到最小，最小值为的两个UMVUE , 则
，它小于的均方误差
.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
依概率几乎处处成立. 这个命题表
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得
3． 证明:若
则对
几乎处处成立，即有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
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若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
时，
4． 设随机变量
时，
（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
由此得
5． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
又因为
9 »
由此可得
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子
，这两个常数因子的乘积为1.
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所以
因为X 与Y 相互独立，
又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
，所以记
相差一个常数因子，
6． 证明:容量为2的样本
【答案】
的方差为
7． 设
证明:
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
8． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
服从大数定律.
的独立性可得
【答案】因为
二、计算题
9． 设X 服从泊松分布，且已知
【答案】由
得
求，从中解得
10．设某元件是某电气设备的一个关键部件，当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时，标准差为30小时，试问:应该有多少备件，才能有证这个系统能连续运行2000小时以上？
【答案】记
为第i 个元件的寿命，
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，由此得
以上的概率，保
则
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