2018年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为
2． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
3． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
未知.
）.
的泊松分布. 证明
则
也服从
从而
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
4． 总体
（1）证明
，其中
，这就完成了证明. 是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
是
的相合估计.
存在，试证明:
5． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
6． 设随机变量
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
7． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
有
独立同分布，且
令
试证明:
其中c 为常
由此得
所以
因为X 与Y 相互独立，
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