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一、计算题

1． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%, 为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取成年人中的大学毕业生人数，则

检验的拒绝域为

若取

问该人看法是否成立？并给出检验的P 值.

待检验的一对假设为

由于

由于观测值为3, 未落入拒绝域中，所以接受原假

【答案】这是关于比例的假设检验问题，以p 表示成年人中的大学毕业生比例，X 表示15名

故取c=l，从而检验的拒绝域为设，不能否定该人的看法.

此处计算检验的P 值更容易一些，事实上，若以X 表示服从二项分布b （15, 0.3）的随机变量，则p 值为

这个p 值不算小，故接受原假设是恰当的.

2 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为一2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为一0.5. ．

试根据切比雪夫不等式, 估计

【答案】因为

所以

3 己知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ, 求．非零常数.

【答案】先计算然后计算

与

的方差与协方差

.

与的相关系数

.

所以当a 与c 同号时

而当a 与c 异号时

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的上限.

与的相关系数, 其中a , b , c , d 均为

4． 为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（万/mm）, 样本方差为样本均值为422.16，样本方差为差异？（取

）.

和

首先要检验两正态总体方差是否相等，为此先检验

为此使用F 检验，则检验的拒绝域为或

本题中，n=156, m=74，并已知

而

因此观察样本不在拒绝域，即不能否定

可用t 检验，则检验的拒绝域为：直接计算得t=5.96, 而

从而我们可在

因此应拒绝原假设，即该地区正常成年男女所含

的条件下进一步检验

2

对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的

试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有

【答案】设该地区正常成年男女所含红血球数分别记为X 和Y ，

并设

由此可知检验统计量下的取值为

红血球的平均值有显著性差异，由于此问题中样本量很大，故采用渐近正态分布作检验也是合适的，结果是一致的.

5． 为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差，特置备了5个金属试块，其成分、金属含量、均匀性都有差别，设每个试块的测量值都服从正态分布，现对每个试块重复测量6次，计算得其样本标准差分别为间.

【答案】从题意可知，这里可以看作来自正态总体i=1, 2, …, 5，由此可知

独立的，故有

从而

即

故的

查表知

置信区间为

现算出

对

，

即

的容量为n=6的样本标准差，由于各试块的测量可认为相互

试求的0.95置信区

代入可算得的0.95置信区间为

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6． 系统由n 个部件组成. 记

为第i 个部件能持续工作的时间, 如果

独立同分布,

且

试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:

（1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为

所以

的密度函数和分布函数分别为

（1）根据题意,

系统持续工作的时间为

而当t>0时

这是参数为

的指数分布, 所以

所以, 当t>0时

所以系统持续工作的平均时间为

7． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.

【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，

则

，故p 的最大似然估计为

因为黑球数与白球数比值

根据最大似然估计的不变性，有

对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为从中有放回的抽一个球为白球的概率为

从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布

表

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所以, 当t<0时,

密度函数

（2）根据题意, 系统持续工作的时间为

解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.