2017年重庆师范大学数学学院621高等数学I之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. 有非零解
B. 如果秩
则
有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解
【答案】D 【解析】
秩
未知量个数，
有零解.
2． 设
均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若线性无关，则
线性无关.
【答案】A 【解析】因为当线性无关时，若秩
则
线性无关，
否则
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
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）.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
线性无关.
二、分析计算题
6． 设V 为数域K 上n 维空间.
①证明：若②若
【答案】①住
取
是V 的s 维子空间，则存在n —s 维子空间使
问：是否的一
基
则在V 中存
在
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个向
量
使得
是V 的一
基. 现在令又显然②不一定但是易知
例如，设V 是2维空间且
的一个解，
线性无关.
其中或是
【答案】（1）设则
用A 左乘等式两边得由
故
进而
（2）由于
故
代入式（3-32）注意到
线性无关.
线性无关，立得
，则
的解，或是AX=0的解（i=l，2，... ，s ）
是导出组的一组基础解系，
则
为其一基，则显然
7． 设
是非齐次线性方程组
证明： ⑴令则
（2）已知向量组_
上式右端t+1阶方阵可逆，
故向量组
线性无关，
故
线性表示；
若
是
的解，
则
可用
线性表示，总之向量
组
与若
可
用
是
等价. 由（1
）知的解，
则
可
用
线性表示，
进而也可用
线性表示，
故
8． 证明埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交.
【答案】设A 是一个埃尔米特矩阵，
是A 的一个特征值. 于是有非零向量
满足
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