2017年北京邮电大学理学院816高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 含有未知函数的导数的方程称为微分方程, 例如方程为已知函数。如果函数
, 其中
f x ）为未知函数的导数, （
就称为这
代入微分方程, 使微分方程成为恒等式, 那么函数
个微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件
【答案】由
, 得
, 于是所求的解为
由由
, 得, 得
故
, 于是所求的解为
2． 求平行于向量a=（6，7，﹣6）的单位向量.
【答案】向量a 的单位向量为
，故平行于向量a 的单位向量为
其中
3． 将绕在圆（半径为a ）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切（如图），细线端点画出的, y=a, 算出这曲线上相应于轨迹叫做圆的渐伸线。它的方程为x=a（cost+tsint）（sint-tcost ）的一段弧的长度。
图
【答案】，，
因此有
；再沿圆周到点（2, 0）.
，圆
围成的平面区域记为D ，则
。
到点
4． 已知L 是第一象限中从点（0, 0）沿圆周（0, 2）的曲线段，计算曲线积分
【答案】如图所示，设圆现补充有向线段
：y 轴（y 从2到0）. 由L 与
由格林公式得
又
所以
图
5． 已知级数
（1）求出该级数的和 （2）问
取多大，能使当
时，级数的余项
的绝对值小于正数ε
（3）分别讨论级数在区间[0, 1],
在（﹣∞, +∞）上收敛。
，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，
该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且
故
于是
（2）
当x=0时，
当
时，
，取
（不妨设ε<1）
取N=1，则当n>N时，就有
则当n>N时，
（3）该级数的各项
在区间[0, 1]上是连续的，
如果
在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]
有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。
在区间
上，因为
所以，
取
当n>N时，对一切
即级数在
上一致收敛。
6． 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数，指出其周期:
（l ）（2）（3）（4）（5）
。
有
【答案】（l ）是周期函数，周期
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