2017年东北理工大学代数基础(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设W 是I
【答案】设所以
则
故a 是W 的基，且
为线性方程组
则由于
则
即
3． 设
【答案】逆阵P , 使
的解•
A 的最小多项式
能分解成数域F 上一次因式之积，则
其中M 是幂因为存在可
的解向量. 证明：
【答案】设但反之，设
故
2． 设列向量
这里
的非零子空间，对于W 中每一个向量 n , 证明：
则a 线性无关.
因为
或全为0, 或
全不为
零阵，N 相似于对角阵，且MN=NM.
能分解成数域F 上一次因式之积，说明A 的若当标准形
这里
令显然，则这里
是幕零若当块，
是数量阵.
取角阵C ，且
且则这里N 相似于对
4． 设A 是非退化实矩阵，则它是一个正交阵和一个正定阵的乘积.
【答案】A 是非退化实矩阵，则
即
5． 设
是线性变换，如果
是正定阵. 由前一题知有正定阵C 使得
于是
是正交阵. 因此A=BC是正交阵与正定阵的乘积.
，证明：
【答案】对k 作数学归纳法，k=2时，
结论成立.
设k=m时结论成立，即
. 于是
故k=m+l时结论也成立. 于是对一切k>l，结论成立. 完成了归纳法.
6． 证明：如果
【答案】因为于是
因此
7． 设
与
也互素.
是同构映射当且仅当
与
互素，那么
互素，所以有多项式
也互素. 使得
是数域K 上线性空间V 到的一个双射. 证明：
【答案】若是同构映射，则
分别得
反之，若上式成立，则取从而为同构映射.
8． 设B 是实数域上
【答案】（1）
矩阵，
对任一大于0的常数n , 证明定义了
单位矩阵.
的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示
（2）
（3）
（4）
由于
的一个内积，从而成为欧氏空间.
所以
由上可知
，
定义了上
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