2017年浙江理工大学概率论与数理统计(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1 某烟厂称其每支香烟的尼古丁含量在12mg 以下. 实验室测定的该烟厂的12支香烟的尼古丁含．
量分别为（单位：mg ）:
是否该烟厂所说的尼古丁含量比实际要少？求检验的p 值，并写出结论. 【答案】我们可用中位数来刻画此问题，于是一对假设为
得正值个数为7，检验的p
值为
厂的说法不真实.
2． 假设
（1）A ，B 不相容； （2）A ，B 独立； （3）
A 由此得
）, ，
B
独
立
的样本, 试给出充分统计量.
，
所
以
由
得P （B ）=5/6.
（3）因为
3． 设
所以
【答案】由加法公式及其变形可知： （1）因为A ，B 不相容，所以（
2
）
因
为
作差
与0.05比较，我们不能确认该
在以下情况下求P （B ）:
是来自均匀分布U （
【答案】总体的密度函数为 于是样本的联合密度为
令
并取
由因子分解定理
,
为的充分统计量（这里没有一维的充分统计量）. 这表
明:充分统计量的维数不一定等于未知参数个数.
4． 有两位化验员A 与B 独立的对一批聚合物含氯量用同样方法各进行10次重复测定，其样本方差分别为0.95置信上限.
【答案】在正态分布下，两样本方差比服从F 分布，具体是
从而
有
，现
查表知
即
故R 的
5． 设
试求1-X 的分布.
故R
的置信上限为
置信上限
为
与
若A 与B 的测量值都服从正态分布，求其方差比
的
【答案】X 的密度函数为
因为
在（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为
：
所以Y=1-X的密度函数为
这表明：当
时，1-X 与X 同分布.
且有
6． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.
【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）
7． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.
【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-1个位置可坐，且这n-l 个位置都是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为2/（n-1）.
8． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 其密度函数为
（1）求U=X+Y与V=X/（X+Y）的联合密度函数（2）以上的U 与V 独立吗？ 【答案】（1）
的反函数为
变换的雅可比行列式
所以在（U , V ）的可能取值范围
（2）因为U 与V 各自的边际密度函数分别为
所以由
知U 与V 相互独立.
内, 有
二、证明题
9 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE
，即
即
且
的无偏估计，故其差
10．试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取
，则这说明
是0的无偏估计，
由判断准则知