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一、综合题

1．

已知离散时间序列

的波形示意图。 【答案】由已知所以

为：

的波形示意图如图1所示：

及

试画出

和

图1

先画

它是将

向左平移8位并做时间翻转形成的，如图2所示：

图2

通过抽取

的每三个采样得到，则

如图3所示：

图3

2．

待设计滤波器的理想频率响应为

相应的单位脉冲响应为

我们用

若

是一个N 点

滤波器的单位脉冲响应，相应的频率响应为

表示两者的均方误差

（1）误差函数

试求

（2）试利用

表示均方误差

来说，当

并以

可以表示为离散时间傅里叶变换

和

表示之。

形式：

（3）试证明对于N 点的有限长单位脉冲响应

时，

达到最小值。也就是说，在N 固定的前提下，矩形窗能给出频率响应的最小均方误差逼近。

当

时令

时

最小，即：

3． FIR 低通滤波器具有如下指标：阻带衰减率

的曲线，验证它满足指标

（1）写出滤波器的差分方程 （2）画出滤波器的幅度响应

【答案】 （1）根据题意，设计该滤波器截止频率：

转换为数字截止频率：

可得：

由阻带衰减50dB ，选择汉明窗；采用汉明窗设计时：

最后得到：

希望N 为奇数，因此取

通带边缘

过渡带宽度

取样频

【答案】

可求得滤波器的差分方程：

其中：

（2）由（1）可画出幅频响应曲线如图所示：

图

4． 已知一长度为2N 的实序列

其2N 点DET

为

问如何通过一次N 点FFT

同时求出

【答案】根据有限长序列共轭对称性的应用以及DIT-FFT 算法机理的应用，令：

那么，利用一次iV 点FET 可求出复序列

的DFT 结果

此时有：

所以为：

5． 画出图1中系统的转置结构，并验证两者具有相同的系统函数。

【答案】按照图1, 将支路方向翻转，维持支路增益不变，并交换输入输出的位置，则形成对应的转置结构， 画出图1系统的转置结构如图2所示。将图2和图1对照，它们的直通通路和反馈回路情况完全一 样，写出它们的系统函数完全一样，这里用Masson 公式最能说明问题。