2017年福建师范大学环境科学与工程学院601高等数学(环)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.
【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为
当R=4，H=20，△R=△H=0.1时
即溶器外壳的体积大约是
55.3
2． 设面密度为常
量质量的质点的引力F 。
【答案】如图所示，引力元素dF 沿x 轴和z 轴的分量分别为
.
的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区
域
，求它对位于z 轴上点
处单位
，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积
图
和
于是
由于D 关于x 轴对称，且质量均匀分布，故
，因此引力
3． 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数
【答案】（1）
：
（2）
4． 设a>1, 最小值。
【答案】由考察函数
, 得惟一驻点
, 在a>1时的最小值。令
得惟一驻点,
, 当
,
；当
时,
, 因此
为极小值, 也是
。
在内的驻点为x （a ）。问a 为何值时, x （a ）最小? 并求出
最小值。
5． 设抛物线y=ax2+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。
，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）
2
抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为
2
2
从而得到
，即
。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为
因此当b=2时体积最小，此时此抛物线满足y ≥0, 故所求解：
，抛物线为
，b=2，c=0符合题目要求。
，在区间[0, 1]上，
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