2017年福建师范大学环境科学与工程学院601高等数学(环)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求三平面x ＋3y ＋z=1，2x －y －z=0，﹣x ＋2y ＋2z=3的交点.
【答案】联立三平面方程
解得，x=1，y=﹣1，z=3.故所求交点为（1，﹣1, 3）.
2． 当x 为何值时, 函数
【答案】容易知道I （z ）可导, 而当
时
, 故
有极值。
只有惟一解x=0。当
时,
,
为函数I （x ）的惟一的极值点（极小值点）。 在椭球面
上点
处沿法外线方
3． 求函数向的方向导数。
【答案】椭球面在点
处的沿法外线方向的一个向量为，则
4． 计算下列曲线积分：
，其中L 为圆周
，其中
为曲线
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；
；
，其中L 为摆线
2π的一段弧；
，其中
的一段弧；
，其中L 为上半圆周
沿逆时针方向；
，其中
沿逆时针方向。
【答案】（1）解法一：L
的方程即为
，于是
是用平面y=z截球面
是曲线
上对应t 从0到
上由到
，，
所得的截痕，从z 轴的正向看去，
，故可取L
的参数方程为
解法二：L 的极坐标方程为
，则
因此
。
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（5）如图所示，添加有向线段OA ：y=0，x 从0变到2a ，则在由L 与OA 所围成的闭区域D 上应用格林公式可得
图
于是
（6）
由
的一般方
程
，可
得
，从0变到2π，于是
5． 判断下列反常积分的收敛性：
（1）
（2）
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从而可
令
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