2017年福建师范大学地理科学学院653高等数学(自)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 把对坐标的曲面积分
化成对面积的曲面积分，其中： （1）是平面（2）是抛物面【答案】（1）由于
在第一卦限的部分的上侧； 在xOy 面上方的部分的上侧。
取上侧，故在任一点处的单位法向量为
于是
（2）由于
取上侧，故在其上任一点
于是
2． 求出曲线
【答案】因为量可取为即
3． 方程
【答案】将已知方程整理成
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处的单位法向量为
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
，解得
和
，于是所求点为
表示什么曲面?
。
，
。
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得
或
所以此方程表示以（1，﹣2，﹣1）为球心，以
为半径的球面.
4． 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.
【答案】如图8-5所示，己知AB=a，故OA=OB=
a ，于是各顶点的坐标分别为
5． 确定λ的值，使得在不经过直线y=0的区域上，曲线积分
与路径无关，并求当L 从点A （1, 1）到B
（1, 2）时I 的值。
【答案】由于曲线积分与路径无关，则
，即
解得
，故当
。
时，曲线积分与路径无关。即
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6． 求点（a ，b ，c ）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.
，关于yOz 面的对称点是（﹣【答案】（l ）点（a ，b ，c ）关于xOy 面的对称点为（a ，b ，﹣c ）a ，b ，c ），关于zOx 面的对称点为（a ，﹣b ，c ）
，关于y 轴的对称点是（﹣a ，b ，（2）点（a ，b ，c ）关于x 轴的对称点是（a ，﹣b ，﹣c ），关于z 轴的对称点是（﹣a ，﹣b ，c ）﹣c ）·
（3）点（a ，b ，c ）关于坐标原点的对称点是（﹣a ，﹣b ，﹣c ）.
7． 设函数f （x ）和g （x ）均在点x 0的某一邻域内有定义，f （x ）在x 0处可导，f （x 0）=0，g （x ）在x 0处连续，试讨论f （x ）g （x ）在x 0处的可导性。
【答案】由f （x ）在x 0处可导，且f （x 0）=0，则有
由g （x ）在x0处连续，则有故
即f （x ）g （x ）在x 0处可导，其导数为f’（x 0）g （x 0）。 8． 设
【答案】f （x ）在
及
要使f （x ）在
内连续，应当怎样选择数a ？
内连续，只要选择数a ，
，
内均连续，要使f （x ）在
使f （x ）在x=0处连续即可，而
又
，故应选择
在x=0处连续，从而
在
内连续。
二、证明题
9． 证明:若函数, （x ）在
【答案】取函数
, 因
故
。又
, 因此
, 即
, 故
。
内满足关系式
, 且
, 则
10．试确定下列各组中的直线和平面间的关系：
⑴⑵
和4x －2y －2z=3； 和3x －2y ＋7z=8；
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