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一、计算题

1． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望.

【答案】解法一:分别记此n 个点

（0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求

而.

和

的密度函数分别为

又因为

所以

解法二:n 个点把区间（0, 1）分成n+1段, 它们的长度依次记为是随机取的, 所

以

因此

而相距最远的两点间的距离为

因此所求期望为

2． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过lOmin ，他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求

，其中【答案】因为Y 〜b （5，p ）

3． 设

所以得

与

独立同分布, 其共同分布为

与

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则相互独立, 且都服从区间

因为此n 个点

具有相同的分布, 从而有相同的数学期望.

而

试求的相关系数.

【答案】先计算的期望、方差与协方差

.

然后计算

与

的相关系数

.

4． 设有N 个产品, 其中有M 个次品. 进行放回抽样. 定义

如下:

求样本

的联合分布.

也可以写成

因此样本

的联合分布列为

其中

5． 设

【答案】

若令

可得

再令

可得

当k 为偶数时，当k 为奇数时，

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【答案】总体的分布列为

求

6． 设随机变量X

的分布为均匀分布

求Y 的分布函数；求期望

【答案】（1）分布函数

在给定。

的条件下，随机变量Y 服从

当y<0时，

当

时，

当时，

当

时，

故分布函数为

（2）概率密度函数为

7． 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其密度函数为

试问该油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？

【答案】记X 为该油站每周的销售量，k 为该油站储油罐的最大储油量. 则由题意知：k 应该满足

这等价于

因此由

中解得

（千升）. 所以可取k=46（千升）即可将一周内断油的概率控制在5%以下.

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