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一、计算题

1． 南京某高校为学生宿舍搭建床架，需要做100套钢架，每套用长为2.gm 、2.lm 和1.sm 的圆钢各一根。 假设采购到的圆钢长度为7.4m ，请问应该如何下料，使用的原材料最省。请建立线性规划模型。

【答案】为了节约材料，下面有几种套裁方案，都可以考虑采用。见表。

表

为了得到100套刚架，需要混合使用各种下料方案。设按l 方案下料的原材料根数为x 1, 2方案为x 2，3方案为x 3，4方案为x 4，5方案为x 5。根据上表的方案，可列出以下数学模型:

2． 某规划线性规划问题:

（1）写出其对偶问题;

（2）推导出原问题与对偶问题中目标函数之间的关系。 【答案】（1）其对偶问题为:

（2）若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。

证明:由于两者均有可行解，根据弱对偶性的推论，对原问题的目标函数值具有上界，对偶问题的目标函数 值具有下界，因此两者均具有最优解。又知当原问题为最优解时，其对偶问题的解为可行解，且有z=w。由最优 性知，这时两者的解均为最优解。

3． 决策分析问题

一个食品加工公司考虑某种食品的生产决策，每天可能的生产量为100、200和300箱，每天的可能的需求量也为100、200和300箱。损益表如表所示。

表

（l ）当P （s 1）=0.2，P （s 2）=0.2，P （s 3）=0.6时，请为该公司推荐一个生产量:

（2）该公司有一些天会接到电话预定该种食品，另外一些天又没有接到预定。设I 1表示接到预定，I 2表示没有接到预定。当P （I 2/s1）=0.8，P （I 2/S2）=0.4，P （l 2/S3）=0.1时，如果公司没有接到提前预定时，食品公司应生产多少箱该种食品? 【答案】（l ）求每个方案的期望收益值，有:

根据期望收益最大原则，应选择方案A 3。 （2）先计算没有接到提前预定的概率:

由条件概率公式

根据后验概率计算各种方案的期望收益为:

应选择方案A l 。

4． 建立数学模型一家汽车制造商有5家过时的工厂，管理层考虑更新这些工厂以生产一种新型轿车的发动机组、变速器和一种主要配件A 。更新每个工厂的成本和更新后的生产能力如表所示:

表

, 得到后验概率为:

工厂可用于更新的资金为1300万元，工厂3和工厂4位于同一地区，最多只能更新一个工厂，此外，工厂1与工厂5具有相关性，工厂5所需要的某些零件必须由工厂1生产。现计划需要180万个发动机、150万个变速器及200万个配件A ，管理层应决定更新哪些工厂以达到计划生产需要，并使总成本最小。试建立该问题的数学模型。

【答案】设x i =1表示更新工厂i ，x i =0表示不更新工厂i 。根据题意，可建立如下数学模型:

5． 某厂对原料需求的概率如表所示。

表

每次订购费C 3=500元，原料每吨价格为K=4田元，每吨原料存储费用为C 1=50元，缺货费每吨为 C 2=600元，该厂希望制订（s ，S ）型存储策略，试求s 及S 的值。 【答案】（l ）计算临界值:

（2）求s :

所以S=40 （3）求s :

因为S=40，所以不等式右端为