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一、计算题

1． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

知

2． 从甲地飞往乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值是4h ，标准差是20min 的正态分布.

（1）该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少？ （2）该机在下午2:20以前到达乙地的概率是多少？ （3）该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是多少？ 【答案】设时间单位为min ，则（1）所求概率为

（2）所求概率为

（3）所求概率为

3． 己知

【答案】由条件概率的定义知

其中

再由

可得

代回原式，可得

4． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.

【答案】令

即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ），其中

因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为

5． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取

【答案】这里的原假设和备择假设分别为

拒绝域为

当取

时，

检验统计量

u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.

6． 设随机变量X

的分布为均匀分布

求Y 的分布函数；求期望

在给定。

当y<0时，

当

时，

当

时，

当

时，

的条件下，随机变量Y 服从）？

，样本标准差s=2.6cm，

【答案】（1）分布函数

故分布函数为

（2）概率密度函数为

7． 设事件A 和B 互不相容，且P （A ）=0.3，P （B ）=0.5，求以下事件的概率：

（1）A 与B 中至少有一个发生： （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生. 【答案】⑴（2）（3）

8． 设随机变量

【答案】从

已知E （X ）=2.4，

和

求两个参数n 与p 各为多少？ 中解得n=6，p=0.4.

二、证明题

9． 设0

【答案】由条件

10．设证:

【答案】注意到

故

证明完成.

11．在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令

证明:

服从大数定律.

试证：A 与B 独立.

得

再由上题即得结论.

是样本方差, 试

为一个样本,