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一、计算题

1． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：

（1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数.

【答案】（1）设该书样稿中总错字的个数为甲校对员识别出错字的概率为别出错字的概率为为

根据频率替换思想有

由独立性可得矩法方程

解之得

乙校对员识

由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同一错字能被甲、乙同时识别的概率

（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即

譬如，若设a=120, b=124, c=80, 则该书样稿中错字总数的矩法估计为被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个.

2． 设为来自的样本，试求假设

【答案】记

样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，函数是

从而似然比检验等价于采用检验是等价的.

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而未

的似然比检验.

分别为的MLE , 而在上为u 的

在（0, 1）区间内单调递增，在（）上单调递减，于

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方

3． 一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率.

【答案】记X 为取出的3件产品中的不合格品数，则X 〜b （3，0.1），所求概率为

4． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵.

（1）（2）

【答案】（1）因为

可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知

所以

由此得（X , Y ）的协方差矩阵为

（2）利用

的对称性可得

所以

又因为

所以

由此得

的协方差矩阵为

5． 甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷. 每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷. 试求第n 次由甲掷的概率.

【答案】设事件

为“第i 次由甲掷骰子”，记

所以由全概率公式

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又因为

则有

得

由此得递推公式

所以得

将

代入上式可得

由此得

由此可见，

这表明：骰子一直由甲掷的机会只有1/2

6． 为了研究本厂产品垫片与国内外同类产品在耐磨性能上的差别，特选国外一家产品、国内两家产品与本厂产品进行磨损试验，其试验数据用磨损率表示，它是愈小愈好. 磨损率的计算公式是

具体数据如下表所示：

表

1

试在正态分布假设下对比四家同类产品的磨损率均值有无显著差异，若有显著差异，再作多重比较（取

）.

【答案】首先计算各平方和

把这些平方和转移至如下方差分析表上，继续计算

表2

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