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一、计算题

1． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？

【答案】若检验结果是接受原假设，可能有两种情况：其一是原假设为真，此时检验是正确的，未犯错误，其二是原假设不真，此时检验结果就错了，这种错误是接受了不真的原假设，为第二类错误，故此时检验可能犯第二类错误.

若检验结果是拒绝原假设，也可能有两种情况：若原假设本身不真，检验是正确的；若原假设事实上是真的，则检验就犯了第一类错误，由此，在此种场合，检验可能会犯第一类错误.

2． 箱子里有n 双不同尺码的鞋子，从中任取只，求下列事件的概率.

（1）（2）（3）（4）样本点数.

（1）要使发生，可分两步走，先从n 双鞋子中任取2r 双，再从抽取的2r 双鞋子各抽取一只，故中的样本点个数为

由此得

（2）要使

发生，先从n 双鞋子中任取1双，再从余下的n-1双鞋子中取出2（r-l ）双，最

中的样点个数为

由此得

=“没有一双成对的鞋”； =“只有一对鞋子”： =“恰有二对鞋子”： =“有1*对鞋子”.

个等可能的样本点，这是分母，下面分别求各事件所含的

【答案】该问题中样本空间含有

后从取出的2（r-l ）双中各取一只，故

（3）仿（2）思路，

中的样本点个数为

由此得

（4）因为中所含样本点个数为所以得

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譬如，取n=5，r=2，可以得

3． 设随机变量X 服从正态分布N （10，9），试求

【答案】一般正态分布

所以

和

的p

分位数与标准正态分布的p 分位数间满足关系式

：

4． 把一颗骰子独立地掷n 次, 求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

, 故先求

. 由于

且因为和

均为仅取0, 1值的随机变量, 所以

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的, 因为在掷n 次骰子中, 1点出现次数多必使6点出现次数少.

5． 设离散随机变量X 的分布列如下, 试求X 的特征函数

表

【答案】

6． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

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6点出现的次数

（第i 次投掷

时, 不可能既出现1点、同时又出现6点）, 因此当i=j时, 有

而当

时, 由于

与相互独立, 所以

求X 与Y 的相关系数.

【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差

.

最后可得X 与Y 的相关系数

7． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.

先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有

个样本点.

个，因此

事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有

所求概率为

譬如，取

可算得

8． 设

是来自密度函数为

的样本， 根的概率是多少？

【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率

（1）求θ的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求θ的矩估计

它是否是相合估计？是否是无偏估计？

【答案】（1）似然函数为

显然L （θ）在示性函数为1的条件下是θ的严増函数，因此θ的最大似然估计为

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