2017年山东财经大学数量经济学综合之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试在
时, 求
当
时,
由此得, 在
时,
2． 口袋中有1个白球、1个黑球. 从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率：
（1）取到第n 次，试验没有结束； （2）取到第n 次，试验恰好结束.
【答案】记事件为“第i 次取到黑球”，i=l，2，…. （1）所求概率为
用乘法公式得
（2）所求概率为
用乘法公式得
3． 为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水水样，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/L）, 具体数据如下：
表
所以
【答案】先求条件密度函数
试用成对数据处理方法比较两种测定方法是否有显著差异，请写出检验的P 值和结论（取
）
【答案】一个水样用两种方法测定，测量数据是成对数据，其差侧，诸在的样本均值与样本标准差分别可算得：
现在要检验的假设为
列在上表数据的右
使用的检验统计量及其值如下
对给定的显著性水平由于
其拒绝域为查表知
故应拒绝原假设即两种测定污水中氯气含量的方法间有显著差
别，检验的p 值为0.0082.
4． 在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率.
【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，记弦的中点与圆心的距离为X ，则样本空间
为
其长度为
由圆的性质知事件A 为“弦的长度大于R”
可表示为
于是所求概率为
，其长度为（如图1）
图1
5． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
【答案】（1）样本要使
的似然函数为
达到最大，首先示性函数应为1，其次是
尽可能大. 由于c ＞0, 故
是的单调增由此给出的最
函数，所以的取值应尽可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于大似然估计为
（2）此处的似然函数为
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
已知；
其对数似然函数为
由上式可以看出，限制然方程
解之
（3）设有样本于θ的单调递减函数，要使得到
6． 设
其似然函数为
达到最大，应尽可能小，但由限制
因而的最大似然估计为的样本, 试给出一个充分统计量.
由于
的主体
是关可以
是的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于
将
关于求导并令其为0得到关于的似
这给出的最大似然估计为
, 这说明θ不能小于是来自均匀分布
【答案】总体的密度函数为
于是样本的联合密度函数为
即
令
, 并取
由因子分解定理,
为参数（
）的充分统计最.
7 为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，，安排了一组试验测得其甲醇浓度x 及相应的“缩醇化度”y ．数据如下：
表
1
（1）作散点图； （2）求样本相关系数； （3）建立一元线性回归方程；