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一、选择题

1． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即 2． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

线性相关，所以线性相关，故选A.

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为空间的两组基，且

由②有

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

于是

3． 若

【答案】C

都是4维列向量，且4阶行列式

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

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分别为A ，B 的伴随矩阵，

即

二、分析计算题

6． 求三次方程，使其三个根分别是三次方程

【答案】诏

是

的三个根. 那么

从而以

为根的三次方程是

7． 设A ，X ，B 分别是

（1）矩阵方程AX=B有解（2）在有解的情况下，【答案】（1）记

则

于是B 的列向量可以由A 的列向量线性表示，进而（A ，B ）的列向量可以由A 的列向量线性表示，故

. 又

故

，那么A 的列向量的极大无关组也是A ，B 的列向量的极大无关如果r （A ）=r（A , B ）

组，于是B 的列向量可以用A 的列向量线性表; 设为

故（2）记

，记全有解.

由r （A ）=r（A , B ）, 贝lj , r （A ）=r（A , ）, j=l, 2, …, S. 当r （A ）=n时，线性方程组无穷多解，故AX=B有无穷多解.

有唯一解，故AX=B有唯一解. 当r （A ）≤n ,

有

则C 是矩阵方程AX=B解.

，

矩阵，证明

有唯一解；r （A ）

若AX=B有解，设

是其解，

的三个根的立方.

于是AX=B有解的充要条件是：线性方程组

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