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一、解答题

1．

已知

，求

【答案】

令

则且有

1

所以

2． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

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则既可由

线性表出，也可

于是

不全为

当a=0时，解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

3．

设n 维

列向量

【答案】记

其中t

为任意常数.

线性无

关，其中S

是大于2的偶数. 若矩

阵

试求非齐次线性方程组

的通解.

方程组①化为：

整理得，由

线性无关，得

显然①与②同解

.

下面求解②

：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）

从而组的基础解系为数.

4

． 设B 是

（I ）证明（II ）证明（III ）若【答案】⑴

有无穷多解

. 易知特解为

从而②的通解，即①的通解为

对应齐次方程

A 为任意常

矩阵

逆

其中E 是n 阶单位矩阵.

且A 可对角化，求行列式

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（II ）

（Ⅲ）设

则由

知

即

或1. 又存在可逆矩阵

p ,

使

或1.

二、计算题

5． （1

）设

求

（2

）设求

【答案】因A 是对称阵

，故正交相似于对角阵

⑴由

求得A 的特征值为对应

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得单位特征向量令

则P 是正交阵，且有

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