2018年长江大学作物学314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
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2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（一）.... 2 2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（二）.... 9 2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（三）.. 17 2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（四）.. 24 2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（五）.. 32
一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
则由正交变换
化二次型为标准形
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（Ⅱ）由于故
故二次型
2
． 设
A 为
的解为【答案】
由利用反证法，
假设
以有
解矛盾
，故假设不成立，则
由
.
3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】由解的结构知
是4阶矩阵
，其中
是齐次方程组
故秩
得
有
有惟一解知
则方程组. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明
：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使.
所只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵
，且方程组
是
4维列向量
. 若齐次方程组Ax=0
的的基础解系.
又由得
因与
可知综上可知，
有
即故都是
的解. 由
线性无关. 由
是
得的基础解系.
那么
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4．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
二、计算题
5． 设A , B
都是
矩阵，证明A 〜B 的充要条件是R （A ）=R（B ）.
【答案】必要性即课本结论，故只需证明充分性. 设R （A ）=R（B ）=r，那么矩阵A ，B 有相
同的标准形 6．
设
求
于是A 〜F ，B 〜F ，从而由等价关系的对称性和传递性，知A 〜B.
【答案】把A 写成两个矩阵之和
其中三阶矩阵
于是
满足
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