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一、解答题

1． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

线性无关.

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

非零可知，

是A 的个

令

故 2．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B

可变形为

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即得到线性方程组

若要使C

存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，

所以方程组的通解为

也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为

其中

3． 设的所有矩阵.

为任意常数.

E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E

【答案】

（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：

得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0的一个基础解系为

（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如

下：

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由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为

即满足AB=£；

的所有矩阵为

其中为任意常数.

4． 设n 维列向

量

【答案】

记

线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩

阵

试求非齐次线性方程组

的通解.

方程组①化为：

整理得

，由

线性无关，得

显然①与②同解.

下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）

从而组的基础解系为数.

有无穷多解.

易知特解为

从而②的通解，

即①的通解为

对应齐次方程

A 为任意常

二、计算题