2018年长江大学作物学314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2．
已知
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
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所以有
3． 已知
A 是
3阶矩阵
，
是
3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与
A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量
： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为
-1, -1，-1.
对于矩阵B ，由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是
芄中不
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全为0.
（Ⅲ
）由
4．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
知
故
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
二、计算题
5． 设n 阶矩阵A 与S 阶矩阵B 都可逆，求
【答案】（1）因A 和B 均可逆，
作分块阵
由分块矩阵乘法规则，
于是⑵求
可逆，
且
的逆阵，就是求n+s阶方阵x ，使
为此，根据原矩阵的分块情况，对x 作一样的分块
，其中
把上式代入（1）式得到
比较上式两端两个矩阵，有
. 矩阵）
是未知矩阵（为明确起见，
它们依次是