2018年厦门大学王亚南经济研究院868概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
2． （1）设分布函数
其中
与
分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
做变换于是
与
其逆变换为
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果，有
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.
利用此结果计算
和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差的
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
雅可比行列式绝对值为
3．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
时上式达到最小，最小值为
，它小于的均方误差
.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
4． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，
样本均值分别为
将两组样本合并，其均值、方差分别为
证明:
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
样本方差分别为
5． 设
是来自正态分布
的样本，证明，在给定
下
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件，
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它与无关，从而 6． 证明:
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
7． 设
证明: （1）（2）
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布
的密度函数p （x ）的对数是
由此得
的费希尔信息量
从而
的无偏估计的C-R 下界为
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是充分统计量.
. ，则
是来自正态总体
是
的一个样本，若均值已知，
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
，