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一、证明题

1． 设

（1）

各以

的概率取值

且假定

与相互独立. 令

证明:

（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以（2）因为

且X 与Y 相互独立，所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式

考虑到而

2． 设随机向量

证明:【答案】由

所以满足

知

3． 设

为独立随机变量序列，且

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故有

即X 与Z 不独立.

所以

证明:服从大数定律.

相互独立，且

服从大数定律.

是样本

，的矩估计和最大似然估计都是

，则

它也是的相

由此可得马尔可夫条件

【答案】因为由马尔可夫大数定律知

4．

设总体

【答案】令

合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

对上式求导易知，当时上式达到最小，最小值为

存在，试证明:

，它小于的均方误差.

5． 设X 为非负连续随机变量，若

（2）

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

，则

6． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与从而X 与即数，

由于

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先证充分性. 若是实的偶函数，则又因

有相同的特征函数，

有相同的密度函数，而X 的密度函数为

则X 与所以

所以得

有相同的特征函

关于原点是对称的.

有相同的密度函数，所以X 与

故

再证必要性，若

的特征函数为

是实的偶函数.

7． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:在区间上服从均匀分布.

代入函数

【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当

的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数

的图形知它的最大值是

是不可能事件, 所以

是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则

当

时,

下面求Y 的分布函数

综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了

8． 令【答案】

上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.

表示服从二项分布的随机变量，试证明:

二、计算题

9． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

【答案】本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为:

拒绝域为由已知条件

，当显著性水平为0.05时，，故检验统计量的值为

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