2018年中国科学技术大学研究生院科学岛分院904原子物理与量子力学之量子力学导论考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 分别在【答案】（1
）在
故：令
因此有：由可得：
有：
因
是厄米算符，
有
所以
即a 、d 为实数
，
表象中，求出表象中
的矩阵表示，并求出由
表象到
知
表象的变换矩阵。的本征值为±1，
应为对角矩阵，对角元为的本征值，由
所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。
由
而
所以
有：
取
则：
取（2）在
则
（比较在
表象中，
再求得
最后求得
表象中，方法同上。先令
表象到
表象的变换矩阵。
（3）下面求由的本征值为：
求的本征矢，对于本征值设其基矢为有：
再归一化，得：对于本征矢
可得：
所以，变换矩阵为：取
有：
2． 一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为
其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？
（3）求t 时刻的波函数
满足归一化条件.
（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的
【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为
由归一化条件有
（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为
解得
.
故粒子可能测得能量即
测得能量的平均值为
（3） t 时刻波函数为
3． 若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：（2）
4． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成
所需的最短时间
任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由
得，
（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.
即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.
【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：
在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为
（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设
时刻粒子的波函数是
处于第一激发态的几率
即