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一、填空题

1． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。

【答案】波粒二象性

2． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换 3．

的整数倍；对称变换

表示_____，几率流密度表示为_____。

【答案】几率密度；

4． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象

；

5． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。 大于时，视为经典体系。

6． 总散射截面Q 与微分散射截面【答案】

【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远

的关系是_____。

二、证明题

7． （1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因为存在

数

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【答案】（1）证：对于厄米算符

所以即本征值为实

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

而

所以

设本征方程为

其中为本征值，上式可改写为

易解出即为厄米算符。

具有周期性，

C 为积分常数，可由归一化条

件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，

由此可得数记为

即为其本征函数. 相应的本征方程为

8． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

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即角动量z 分量的本征值为是量子化的，相应本征函

再利用归一化条件可得

这就意味着，此态要么是自旋朝上要么自旋朝下

和

即都为自旋分量的本征态。在

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

三、计算题

9． 已知二阶矩阵A 、B 满足：【答案】根据定义由于

故得：

有：

在B 表象中，求出矩阵A 、B 。

由此式求出B 的本征值为0，1。

在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：

设：

则有：

由③可得：由③可得：由式⑤、⑥可得：表示：

由①、⑦表示的A 、B 已满足题设条件。故α可取实数。令α=0, 则:

10．简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

可取

为实数），代入②式，即得B 表象中A 的矩阵

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