2018年中国科学技术大学研究生院科学岛分院904原子物理与量子力学之量子力学导论考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。 【答案】相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例
如
就是它们的共同本征态，本征值皆为
相互不对易，
但
2． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。
【答案】单电子波函数的空间部分：
二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：
3．
若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量
【答案】因为设由
所以
和
和]
贝IJ :
得：
同理，设
则：
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且有试用Schmidt 方法构成正
由
代入上式，得：
故：
因此：
4． 粒子在二维无限深势阱中运动
，（1）写出本征能量和本征波函数； （2）若粒子受到微扰
的作用，求基态和第一激发态能级的一级修正。
【答案】 （1）根据题意，易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。
（2）基态的一级能量修正
在计算第一激发态能级的一级修正时，由于存在两组简并态利用简并下能级的修正方法计算. 令
则可计算出微扰
所以微扰可表示成
的矩阵表达式
所以
则
得：
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5． 设有三个自旋算符组成的系统，其哈密顿量为试
（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；
（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为
其中
能量与无关，可由
时，能量为
时，能量为
时，能量为
当
故系统的力学量完全集为完全确定
. .
可取值个数确定，则
完全确定时，能级简并度将仅由
可取值的个数为2, 故简并度为
2.
可取值个数为2，故简并度为
2. 可取值个数为4，故简并度为4.
二、综合分析题
6． —体系服从薛定谔方程：
（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）。 （2）求基态能量和基态波函数。 【答案】（1）体系的哈密顿量为：
引入质心坐标和相对坐标r :在坐标变换
下，体系的哈密顿量变为：
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