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一、计算题

1． 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？

【答案】这个概率可用几何方法确定，记x 和y 分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则（x ，y ）的可能取值形成边长为24的正方形

其面积为

而事件A“不需要等候码头空出”有两

另一种情况是乙

所以事件A 可表示

为

种可能情况：一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足船先到，则甲船在两小时之后到达，即满

足

所以由几何方法得

所以事件A 的区域形成了图中的阴影部分，

其面积为

图

2． 设

（1）（2）【答案】⑴

（2）

是来自N （8, 4）的样本, 试求下列概率

3． 某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得其平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）, 取使用原料B 生产的样品24件，测得其平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ），设产品质量服从正态分布，两个样本独立，问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大（取

）？

【答案】设X 为使用原料A 生产的产品质量，Y 为使用原料B 生产的产品质量，

则

由问题的陈述，我们看到这是关于两总体均值的检验问题，且为了

能够显著地认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 大，必须将该陈述作为备择假设，只有当拒绝与之相对立的原假设时，才能说明使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大，因此，可建立如下假设检验问题

为完成此假设检验，应先对两总体的方差是否相等进行检验，若接受本t 检验；若

不成立，则可以用近似t 检验，对于检验问题

观测值未落入拒绝域内，由此可以认为两个总体的

则

.... 故拒绝域为

由于

因此在显著性水平

时，应接受原假设

即使用原料B 生

产的产品平均质量没有显著地超过使用原料A 生产的产品平均质量.

4． 设随机变量X 服从区间（-1，1）上的均匀分布，求：

（1）（2）【答案】⑴

（2

）

当y<0时

，

所以得

可以使用两样

可

计算如下检验统计量

若取拒绝域为若取

贝

!J

方差相等，下面我们在方差相等的假定下检验上述关于均值的假设，此处可使用两样本t 检验，

由所给条件，计算得

的密度函数.

当时

，

当时

，

5． 有两位化验员A 与B 独立的对一批聚合物含氯量用同样方法各进行10次重复测定，其样本方差分别为0.95置信上限.

【答案】在正态分布下，两样本方差比服从F 分布，具体是

从而

有

，现

查表知

即

故R 的

6． 设离散随机变量X 的分布列如下, 试求X 的特征函数

表

【答案】

7． 设二维随机变量（X , Y ）的联合分布列为

表

1

试求

与

的协方差.

表

2

所以得

由此得

故R

的置信上限为

置信上限

为

与

若A 与B 的测量值都服从正态分布，求其方差比

的

【答案】因为