2017年南昌航空大学综合试卷之概率论与数理统计教程考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】由于
是总体
的一个样本, 求
的分布.
为独立同分布的N （0, 1）随机变量, 故
且两者独立, 故
2． 设二维随机变量u , n 的联合密度函数为
求【答案】
的非零区域与
的交集为图阴影部分, 所以
图
3． 由正态总体
【答案】因为
抽取容量为20的样本, 试求
所以
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, 用
表示服从
的随机变量的分布函数值, 则
利用统计软件可计算上式. 譬如, 可使用MA TLAB 软件计算上式:在命令行输入则给出一次性给出
输入
这里的
则给出0.0318, 直接输入
就表示自由度为k 的
则
分布在x 处的分布函数值. 于是有
4． 设
是从正态总体N （10, 9）中抽取的样本, 试求样本均值
的标准差.
【答案】来自正态分布的样本均值仍服从正态分布, 均值保持不变, 方差为原来方差的1/n, 此 , 的标准差为处总体方差为9, 样本容量为8, 因而
5． 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设
此处
分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值.
现分别在两总体中取一样本
和
设两总体均为正态分布且方差分别为已知值
设两个样本独立. 试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域. 【答案】设X 为服用原有止痛片后至开始起作用的时间间隔，止痛片后至开始起作用的时间间隔
，立.
为此，先构造
待检验的一对假设为
的点估计
由于
且
已知，
故
为样本，Y 为服用新
为样本，且两个样本独
的分布完全确定. 据此，可采用u 检验方法，检验统计量为
当矾成立时，
，对于本题的检验问题，在给定的显著性水平理下，检验的拒绝域
为
6． 在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数
（1）（2）（3）（4）
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的渐近分布.
【答案】（1）先求出总体的中位数. 该分布是贝塔分布Be （2, 2）, 可以看出称, 所以
=0.5, 于是样本中位数
的渐近分布为
所以
的渐近分布为, 所以相应的中位数为
所以
（2）正态分布
的中位数为
关于0.5对
（3）该分布的密度函数为布为
的渐近分
（4）该分布的密度函数关于y 轴对称, 故相应的中位数为0, 所以
7． 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%.如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？
【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则
厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为
8． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求X 与Y 的协方差及相关系数. 【答案】先求X 与Y 的期望与方差
所以
又因为
所以X 与Y 的协方差及相关系数为
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的渐近分布为
因为“顾客来到餐