2017年湖北省培养单位武汉物理与数学研究所801高等代数考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 曲面
【答案】
和平面y=0的交线绕x 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为_____。
绕x 轴旋转一周所得的曲
【解析】本题可看作是在在二维坐标系xOz 中，求解曲线
面方程，则所求旋转曲面方程为
2． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
（l ）f （x ）在点x 0可导是f （x ）在点x 0连续的_____条件，f （x ）在点x 0连续是f （x ）在点x 0可导的_____条件。
f （2）（x ）在点x 0的左导数条件。
（3）f （x ）在点x 0可导是f （x ）在点x 0可微的_____条件。 【答案】（1）充分，必要 （2）充分必要 （3）充分必要
3． 点（2, 1, 0）到3x+4y+5z=0的距离d=_____。
【答案】
【解析】根据点到面的距离的计算公式可知
4． 若锥面的顶点为
【答案】
，而它与xOy 平面的交线为
则此锥面的方程为_____。
及右导数
都存在且相等是f （x ）在点x 0可导的_____
【解析】如下图所示，在锥面上任取一点M （x , y , z ）, 连接CM 并延长至z=0平面，
交点为
则
且直线CM 的方程为
即
联立①②得
5．
设向量场
的方向导数
【答案】【解析】于是而故
6． 设为质量均匀分布的半圆
【答案】【解析】
线密度为
，则
对x 轴的转动惯量
_____。
，
_____。
，
则其散度
在点
处沿方向
二、计算题
7． 求下列函数的一阶和二阶偏导数：
。
【答案】（1）
（2）
8． 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是
（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360m 需要多少时间?
【答案】（l ）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动, 位移函数为s=s（t ）, 则
于是由假设可知s （0）=0, 故（2）由
9． 求曲线
, 得
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
, 所求距离为s （3）=27（m ）。
, 问
【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得