2018年吉林大学通信工程学院902常微分方程考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
求解方程
【答案】方法一
令
上式两端关于x 求导，
得
整理后得到
即有
将或
代入（1）,
得原方程的一个特解
代入（1），
得到原方程的通解
方法二 令t=lnx, 则：
代入原方程得又由方程
解得方程变为
这是关于y ，t 的克莱罗方程，
所以通解为
或
回代变量得原方程得通解为，
奇解为
，
奇解为
2． 假设方程M （x ，y ）dx+N（X ，y ）dy=0
中的函数满足关系
其中f （x ），g （y ）分别为x 和y 的连续函数，试证方程M （x ，y ）dx+N（x , y ）dy=0有
积分因子
【答案】
要证明
因子，就需
证明
事实上是方程M （x ，y ）dx+N（X , y ）dy=0的积分为恰当方程，
即证明
故
3． 设曲线L
的极坐标方程为
若极径
的方程.
【答案】根据题意，
有
两边对求导，
得
从而有
将条件是方程M （x ，y ）dx+N（x , y ）dy=0的积分因子. >为L 上任一点
，为L 上一定点，
0M 与曲线L 围成的曲边扇形的面积值恰等于L
上M 两点间的弧长值，求此曲线即
两边积分，
得
代入上式，
得
故所求曲线方程为
4． 求微分方程的通解
：
【答案】
令
方程化为
于是
积分得
通解为
由
产生的也是解，但已包含在通解中.
5．
解方程
【答案】
将方程改写为
这是以x 为未知函数和以y 为自变量的伯努利方程，
则有
令
得
从而原方程的解为
6． 求满足下列关系式的函数y （x ）.
（1
）
（2
）
【答案】（1）给方程两端关于x
求导得
则求解积分方程
就等价于求解初值问题
解上面微分方程得其通解为
即
满足初始条件的解为
（2）给方程两端关于x
求导得
对上方程两端关于x
再求导得
这样，
求解原积分方程
就等价于求解初值问题
方程是伯努利方程，
两端同除以，
变形为
即
解之得方程
的通解为
即
故满足初始条件的解为
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