2018年北京信息科技大学理学院822常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 试导出方程M （x ，y ）dx+N（x ，y ）dy=0
分别具有形为
要条件.
【答案】根据判别准则（定理2.1）, μ（x+y）是方程M （x , y ）dx+N（X ，y ）dy=0的积分
因子的充分必要条件是
和的积分因子的充
则有
即
因此方程具有形如
的积分因子的充分必要条件是
是方程M （x ，y ）dx+N（x ，y ）dy=0
的积分因子的充分必要条件是
因此方程具有形如
的积分因子的充要条件是
2． 求解
：
【答案】对原微分方程两边求导，
得，
即
问题转化为求解微分方程①.
令
则将其代入①，
并整理得
所以方程②的相应的齐次方程为
其特征方程为
所以解得
又因此方③的通解为
不是特征根，
故设特解为
故方程②的通解为
将④代入②并比较系数得
所以原微分方程的通解为
将
所以由代入原微分方程得
和
得
故原微分方程的解为
3． 在图所示的RC 电路中，
设而开始时电容C 上没有电荷，问
：
图
（1）当开关K 合上“1”后，经过多长时间电容C
上的电压
（2）当开关K 合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关K 从“1”突然转至“2”，试求认的变化规律，
并问经过多长时间
【答案】（1）充电过程中电容C
两端的电压变化规律满足
把
的时间电容C
上的电压
（2）对于放电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定律，
有
对于电容器放电时，电容器上的电量Q 逐渐减少，
由初始电量
少，所以电流I
满足
代入
以后电量减得到
满足的微分方程为代入上面表达式得
即得所以，
经过
并且刚开始放电时，电容器两端的电压为E , 即初始值为f=0
,
对上面的方程，
分离变量并且积分得到
这里
把
时
，
4．
当
求出方程组是待定常数.
代入初始值
得代入上面表达式得
即所以，
经过时间所以，
在放电过程中的变化规律为
的奇点，确定其类型，并判断其稳定性.
【答案】
将系统写为
其中
考虑它的一次近似系统
则O （0, 0）是原系统及①的惟一奇点，
其系数矩阵的特征方程为
所以特征根为
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