2018年辽宁科技大学理学院801线性代数与常微分方程之常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 试详细讨论教材中两种群模型（6.52）中的被捕食-捕食模型的各种情形.
【答案】这里仅考虑r>0的情况. 不妨设x 为食饵，y 为捕食者，若下面系统表示为捕食者一食饵系统，则有下面集中情况：
（1）当r>0, s>0时，表示捕食者y 可以依赖系统以外的食物为生：
①b>0, c<0, a>0, d>0, x , y 均有密度制约；
②b>0, c<0, a=0, d>0, y 有密度制约；
③b>0, c<0, a>0, d=0, x 有密度制约；
④b>0, c<0, a=0, d=0, x , y 均无密度制约•
（2）当r>0, s<0时, 表示捕食者y 不能完全依赖系统以外的食物为生：
①b>0, c>0, a>0, d<0, x , y 均有密度制约；
②b>0, c>0, a=0, d<0, y 有密度制约；
③b>0, c>0, a>0, d=0, x 有密度制约；
④b>0, c>0, a=0, d=0, x , y 均无密度制约。
2． 求下列方程组的通积分及满足指定条件的解:
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
【答案】（1
）两个方程相加得到当t=0时，x=-2，y=0; 当t=0时，x=y=1;
令u=x+y,
则上面方程可以写成
这是一阶线性微分方程，
可解出得
即得原方程的一个首次积分为
两个方程相减得到
解之得
于是得到另一个首次积分为
所以，
原方程组的通积分为
（2）两个方程相加，
得到
解之得
两个方程相减得到
解之得于是，
原方程的通积分为
而满足条件t=0，x=-2，y=0
的特解为
（3
）两个方程相除可以得到
令
则得到
解之得
另外，
由原方程组得到即
第一项乘以（-y ）加上第二项乘以x , 则得到
变形上式可得
两边积分后得到
所以原方程组的通积分为
把条件t=0, x=y=l
代入上面的通解表达式可得所以，
特解满足
解之可得
（4
）将三项相加可得
故是原方程组的一个首次积分.
将第1项乘x ，第2项乘z ，第3项乘z
可得
故可得原方程组的另一个首次积分
所以，
原方程的通积分为
3． 解下列方程，并求奇解（如果存在的话）
：
并画出积分曲线图
；
并画出积分曲线图；