2018年北京信息科技大学理学院822常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 举例说明线性系统的奇点是中心时，加上非线性项后，奇点类型可能会发生改变.
【答案】（1
）系统
有奇点为
作极坐标变换，
原系统可化为
即在
，（2
）系统
点外围的轨线均为圆
仍为中心. 说明加上非线性项后奇点可见，
当且只要半径时
，
且
轨线均沿逆时针方向旋转. 由此
有奇点为
作极坐标变换，
原系统可化为
从而解得
可见，
当
（3）系统时
，
即为稳定焦点.
由此说明线性系统奇点变为稳定焦点，这种奇点一般称为细焦点. 是中心，
加上非线性项后奇点
有奇点为
当其中k 为正整数.
时，作极坐标变换，
原系统可化为
容易看出，
沿
有
故均为闭轨线；
而因此，
在奇点的外围有一闭轨线序列缩小趋于奇点
有螺线环绕.
这种奇点
非线性项后奇点
2．
求方程
【答案】对第一项，
取
乘
得
变为中心焦点. 而每两个相邻的闭轨线之间都是中心，加上
一般称为中心焦点.
由此说明线性系统奇点的通解.
因此可取第一项微分式的积分因子通式为
同理第二项微分式的积分因子通式为
容易看出，
若取
则两项的积分因子相等且为
这就是原方程的积分因子.
如果不易观察到所需的
现设可以尝试用下面方法.
，
选择
使得
成立.
比较两边x ，y 的次数，
得
将所求积分因子乘原方程两端得
从而求得因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是
即有
故通解是
3．
求
【答案】
因
的通解.
方程有积分因子
用乘全式，
有
方程有通解
4．
讨论方程组的奇点类型；其中hc
为常数且
故其有唯一的奇点，
即原点
又由
【答案】
因为方程组满足条件
得则方程组的奇点（0, 0）可以分为以下类型
：
5． 在上半平面求一条上凹的曲线，
其上任一点
【答案】
设所求曲线为
过曲线上的点处的曲率等于此曲线过该点的法线段处的法线方程是PQ 长度的倒数值的一半（Q 是法线与x 轴的交点），且曲线在点（1，2）处的切线与x 轴平行.
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