2018年吉林大学通信工程学院902常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列方程或方程组的通解
（1）
（2）
（3
）
（4
）
（5
）
（6
）
（7
）
（8
）
【答案】（1）这是一阶线性非齐次方程，
其一般形式为
其通解公式为
显然，这里P （x ）=1，Q （x ）=sinx
求得方程的通解
：
（2）利用代换x=v+l，y=v-3，将原方程转化为齐次方程
：
再令，
将上方程化为
分离变量得
积分得
回代变量并整理得原方程的通积分为
其中C 为任意常数
.
（
3）将原方程变形为
当
即有时，将方程两边同时除以故原方程的通积分为
得这是恰当方程，
其中C 为任意常数，另外方程还有常数解x=0.
求解微分方程
（4）因为直线
v=u
与曲线
至少有一个实根.
用
k
表示函数方程
从而求解微分方程
（5
）将方程改写为
即
显然第一项有积分因子
乘改写后方程两端
，得
积分得原方程的通解为
（6
）因为这是
设的奇次代数方程
，且系数为实数，所以至少有一个实根. 为代数方程的根
，则
y=ax+c
是微分方程的解. 这样就有
考虑到第二项的形式，可以取m=3, 即取的根，
则有
满足微分方程
所以方程的通积分为至少有一个实交点
，所以函数方程得y=kx+c为所求方程的解，即有
故方程的通积分为
（7）观察知xy 为一个整体，尝试作变量代换
将其代入方程得
这是可分离变量的方程，解之得
回代变量得原方程的通解为
（8
）解方程可变形为
另外还有解
令
则
可得
原初值问题转化为
求解
由条件
得
可得
回代变量得原方程的通积分为
2．
求二阶微分方程
【答案】齐次方程的特征方程为
于是
代入方程
满足的解. 有2
重特征值
特解应设为
通解为
求导得
由初值条件有
即方程满足初值条件的解为