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一、计算题

1． 设

是来自对数级数分布

的一个样本，求参数p 的矩估计. 【答案】由于

因此有

从而得到p 的一个矩估计

2． 在单因子方差分析中，因子A 有三个水平，每个水平各做4次重复试验. 请完成下列方差分析表，并在显著性水平

下对因子A 是否显著作出检验.

表1 方差分析表

【答案】补充的方差分析表如下所示：

表2 方差分析表

对于给定的显著性水平

查表知

故拒绝域为

由于

3． 设

其中

因而认为因子A 是显著的. 此处检验的p 值为

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为

试问

是否服从大数定律？

【答案】因为

由柯西积分判别法知上述级数收敛, 故

存在, 所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

4． 我们知道营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关. 为能从社会商品零售总额去预测税收总额，需要了解两者之间的关系. 现收集了如下九组数据（单位：亿元）：

表

1

（1）画散点图；

（2）建立一元线性回归方程，并作显著性检验（取区间；

（4）若已知回归直线过原点，试求回归方程，并在显著性水平0.05下作显著性检验. 【答案】（1）散点图如图

），列出方差分析表；

（3）若已知某年社会商品零售额为300亿元，试给出营业税税收总额的概率为0.95的预测

图

类似的问题我们己经做过多次，此处我们使用MATLAB 统计软件来进行，把数据输入到worksheet 中，在选项stat 中选择regression. 在弹出的对话框中将因变量和自变量选入即可，得到的回归方程为

方差分析表如下：

表2

根据以上结果，在显著性水平下，回归方程是显著的.

（3）按照（2）的步骤进入regression 对话框，点击options 后，在prediction of new observation中给出自变量x 的值300，就可以得到y 的0.95预测区间为[9.688，14.999].

（4）若想要拟合不带截距的过原点的回归方程，只要在options 中在Fitintercept 选项中不选，即可得到过原点的回归直线为

此时检验的P 值为0.000，因此在显著性水平

下，

过原点的回归方程是显著的.

5． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85, 现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.

【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题.

由题设条件

于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为

即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1.9168, 2.5832].

6． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率.

【答案】设事件A 表示“三枚硬币中至少出现一个正面”.若用“0”表示反面，“1”表示正面，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有八个等可能样本点：

由于事件A 含有其中7个样本点，故P （A ）=7/8.

7． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.

先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有

个样本点.

个，因此

事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有

所求概率为

，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95

，

查表知

根的概率是多少？

【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率