2017年四川师范大学物理与电子工程学院826量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态
【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.
2． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.
；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.
3． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
4． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性
5． 如图所示，有一势场为：
，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。
则的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
图
【答案】
6． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象
；
二、证明题
7． （1）设（2）试将【答案】（1）
与pauli 算符对易，证明
表示成
的线性叠加. 其中为单位算符.
利用
化简可得：
（2）
8． 处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：
其中，显然有
设：
于是有：
为电子动量算符，算符定义为且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。
其中：
同理，有:
因此，有：
利用类似的方法，可得：
因此，有：
综上所述，可以得到
也即
故为体系守恒量，得证。
三、综合分析题
9． 考虑一维阶梯势反射系数和透射系数。 【答案】当
时，由薛定锷方程.
由于粒子从左边入射，在其中C 为常数，当
时，由薛定锷方程
的区域只有透射波，故解得波函数为：
同理可得：
其中
为常数，
和
的连续性，有
解得：
得：
若能量
的粒子
从左边入射，试求该阶梯势的
利用在x=0处
所以，可得反射系数：
透射系数为：
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