2017年四川大学原子与分子物理研究所832量子力学之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、简答题
1． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
2． 写出在【答案】
表象中的泡利矩阵。
3． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
4． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
5． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
6． 已知为一个算符满足如下的两式么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
7． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
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问何为厄密算符？何为
8． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
9． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
10．波函数是否描述同一状态？ 【答案】
与
描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
二、计算题
11．—体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。
【答案】至二级修正的能量公式为
其中
分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得
n=2时，将m=l, 3代入II 式可得
n=3时，将m=l, 2代入II 式可得
再分别由I 式、III 式、IV 式和V 式可得
12．设两个电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是能和u （r ）相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。
【答案】这个一个两电子体系，属于费米子系统。在不考虑电子之间库仑相互作用的情况下，有：
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现在受到微扰的作用，
微扰矩阵元为
和c 都是实数. 用微扰公式求
如果电子之间的库仑
其中
分别为谐振子第m 、n 个能量本征函数。
（2）当
时，由这两电子组成的体系波函数为：
其中：
13．已知征值。 【答案】中，
表示力学量，因而是厄密算符，因此，
算符也为厄米算符。可知，
表象
i 算符的本征值均为±1。有：
当设
时，
本征函数为表象中表示为
时，本征函数为
因此有：
算符，在
的矩阵表达式，并示出它们的本征函数及本
（1）当m=n时，由这两电子组成的体系波函数为：
表象中给出
由厄米算符的定义，可知a 、c 必为实数，
又
由此有a=c=0, 则再由由
可得：
代入得：
取b=l，可得：
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