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一、填空题

1． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性 2 设体系的状态波函数为．量

的关系为_____。

的关系是_____。

如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢

【答案】

3． 总散射截面Q 与微分散射截面

【答案】

4． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。 【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子 5．

表示_____，几率流密度表示为_____。 【答案】几率密度；

6． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说诞生奠定了基础.

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应

上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的

二、证明题

7． 处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：

其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：

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为电子动量算符，算符定义为且和B 都

为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。

其中，显然有

设：

于是有：

其中：

同理，有:

因此，有：

利用类似的方法，可得：

因此，有：

综上所述，可以得到也即故为体系守恒量，得证。

8． （1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因为存在

数

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

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【答案】（1）证：对于厄米算符

所以

即本征值为实

具有周期性，

而

所以

设本征方程为

其中为本征值，上式可改写为

易解出

C 为积分常数，可由归一化条

即为厄米算符。

件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，

由此可得数记为

即为其本征函数. 相应的本征方程为

即角动量z 分量的本征值为

是量子化的，相应本征函

再利用归一化条件可得

三、综合分析题

9． 粒子的哈密顿算符为的取值为（1） 在

征态矢。 求

（2）表示

【答案】（1）在

表象中，令

则:

的

表象到

表象变换S 矩阵，并求与

在

表象中的矩阵

的

其中为正实数。已知t = 0时，粒子的轨道角动量平方

矩阵表7K ，并求出

的本征能量与本

轨道角动量分量的取值为

表象写出. 与

时波函数

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