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一、填空题

1． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性

2． 一粒子的波函数【答案】

则粒子位于间的几率为_____。

3． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。

【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。

4． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

5． —粒子的波函数为写出粒子位于【答案】

6． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

间的几率的表达式_____。

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

二、证明题

7． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

因而有：

8． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

和

即都为自旋分量的本征态。在

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

三、综合分析题

9． 已知【答案】

10．设两个自旋为粒子构成的体系，哈密顿量

向，求t ＞0时测量粒子1的自旋处于z 轴负方向的几率。 【答案】体系的哈密顿算符为：

选择耦合表象，由于s=0，1，故四个基底为：

在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即：

其中，C 为常数，

分别是粒子1

试证

和粒子2的自旋算符。已知t=0时，粒子1的自旋沿z 轴的负方向，粒子2的自旋沿z 轴的正方

可以直接写出它的解为：

已知t=0时，体系处于的波函数为：

粒子1处于z 轴负方向的几率为：

11．试求

示：二维各向同性谐振子可用极坐标求解，能级为磁量子数。

【答案】将平面直角坐标转化为平面极坐标，设级为

可以得到系统的能级为：

注意当时，

12．如图所示（1）求

能级简并度为。

的粒子流从

向右运动。

并利用二维各项同性谐振子能

的能级。你觉得能级简并度有什么特点？提

为径向量子数，m 为

因为哈密顿算符不显含时间，故t ＞0时刻

（2）设入射波函数几率幅为1, 求反射波和透射波几率幅及几率流密度。