2018年清华大学工业工程系902运筹学与统计学之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 记
证明
【答案】
由
得
2． 若事件A 与B 互不相容，且
，证明:
【答案】
3． 设随机变量X
有密度函数Y=与
不相关、但不独立. 【答案】因为
不相互独立，特给定
使得
所以
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且密度函数是偶函数，假定
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
证明:X 与不相关.
为证明
所以X 与
4． 设
不独立.
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
服从大数定律. ，证明:
由此可得马尔可夫条件
证明:
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
5． 设
【答案】一方面
另一方面
6．
设
为一事件域，若
，故其对立事件
.
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
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【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
. 所以，所以，所以
，由，由
.
，由（3）（有限交）得，
7． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
证明:当时，随机变量
则由X 的特征函
数
按分布收敛于标准正态
可
得
展开为级数形式，可得
所以
的方法知结论成立.
8． 设总体
证明:
而正是的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛
为样本，
分别为,
分别是
的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
【答案】大家知道:则
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
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，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
由此可得到的UMVUE ,
，因而
t