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一、填空题

1． 设则

【答案】1

【解析】由题意，构造函数

，则有

又有

，得

将

代入

得

2． 曲面方程_____。

【答案】

【解析】由题意知，曲面

。

又由于切平面垂直于平面故有

解得

。将

故切平面方程为

代入曲面方程，解得

，则有

和

，

的切平面的法线向量可表示为

上同时垂直于平面

的切平面

，其中

_____。

是由

确定的隐函数，

3． 设C 为上半圆

周

=_____。

从

到的弧段，

则

【答案】

，则

【解析】补线段

4． 若级数

【答案】发散 【解析】如果

收敛，

收敛，

发散，则级数

=_____。

与题设矛盾。

5． 若向量X 与向量a={2，-1, 2}共线，且满足a ·X=-18, 则X=_____。

【答案】{-1, 2, -4}

【解析】由题意知，向量X 与向量a 共线，则令

解得即

6． 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0，1]上，若其线密度心坐标=_____.

【答案】

，故

，则该细棒的质

【解析】质心坐标

7． （1）函数f （x ）在[a，b]上有界是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件，而f （x ）在[a，b]上连续是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件;

（2）对常积分

，它的变上限积分上非负、连续的函数f （x ）收敛的_____条件。

一定______。

在

上有界是反

（3）绝对收敛的反常积分

【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛

8．

【答案】

既是x 的偶函数，也是y 的偶函数，而积分域

关于两个坐标轴

_____。

【解析】由于都对称，则

9． 设a=（2, 1, 2），b=（4，﹣1, 10），c=b－λa ，且a ⊥c ，则λ=_____.

【答案】3

c=b－λa==. a⊥c , 故a ·c=【解析】（4，﹣1, 10）－λ（2, 1, 2）（4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）（2, 1, 2）（·4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）=27－9λ=0, 从而λ=3.

10．设函数

【答案】

。

则

的反函数x=f（y ）在y=0处的导数

-1

=_____。

【解析】当y=0时，即x=-1，则 11．通过直线

【答案】z=2

【解析】由于所求平面经过已知直线，故可设所求平面方程为

即

且与球面

相切的平面方程为_____。

又所求平面与已知球面相切，则球心到所求球面的距离等于该球面的半径2，根据点到平面的距离的计算公式可得

解得 12．直线

【答案】

，故所求平面方程为z=2.

与的夹角为_____。