2017年山东科技大学信息科学与工程学院833高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有摆线
试求：
（1）L 绕x 轴旋转一周所得旋转面的面积； （2）L 上任意点处的曲率； （3）L 与x 轴所围平面图形的形心【答案】（1）由于则该旋转面的面积为
。
，
由曲率公式，L 上任意点处的曲率为
（3）由平面图形的形心公式，有
当
时
对应
，相应地
，则
因此
。
。
由对称性知，x=0。故求平面图形的质心为
2． 在第一卦限内作椭球面
的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体
的体积最小. 求这切平面的切点，并求此最小体积.
【答案】设切点为
，
曲面在点M 处的切平面方程为
即
于是，切平面在三个坐标轴上的截距依次为面体的体积为
，切平面与三个坐标面所围成的四
在数
的条件下，求V 的最小值，即求分母的最大值。作拉格朗日函
令
，并由约束条件
从而
于是，得可能极值点四面体的最小体积为
。由此问题的性质知，所求的切点为
，得
，
3． 设Z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x 1，y l ，z 1）沿直线移到（x 2，y 2，z 2）时重力所作的功。
，质点移动的直线路径L 的方程为
【答案】重力F=（0，0，mg ）
于是
4． 已知单摆的振动周期
，其中
1为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，
为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？
【答案】由
，得