2017年福建师范大学环境科学与工程学院601高等数学(环)考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1．
设
，其
中，
其中
何意义说明柱体位于
与
之间的关系。
、顶为曲面:的曲顶柱体
。由此可知
的曲顶
的体积（图）. 由于
分成四个
表示底为
、顶为曲面
:
；
又
。试利用二重积分的几
【答案】解法一:由二重积分的几何意义知，表示底为的体积; 上方的曲面:
关于yoz 面和zox 面均对称，故yoz 面和zox 面将
等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为
图
解法二:
设
关于x 是偶函数，故
又由于
关于X 轴对称，被积函数
关于y 是偶函数，故 。由
于
关于y 轴对称，被积
函数
从而得
2． 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数
即二阶导数
。
【
答
案
】
（
1
）
（2）
3． 求力
【答案】
下面用两种方法来计算上面这个积分。
解法一:化为定积分直接计算。如图所示，由AB ，BC ，CA 三条有向线段组成，则
沿有向闭曲线所作的功，其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截
成的三角形的整个边界，从z 轴正向看去，沿顺时针方向。
图
于是
因此
解法二：利用斯托克斯公式计算，取为平面任一点处的单位法向量为
的下侧被
所围成的部分，则在，由斯托克斯公式得
4． 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面所围成。
（1）求物体的体积; （2）求物体的质心;
和平面z=0, │x │=a, │y │=a
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