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一、计算题

1． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，，选取了15个男子（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm , 过了一个月再测量厚度，得到数据如下:

表

问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设

来自正态总体，结论是什么？

（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？

【答案】 （1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值， 则需检验的假设为由于

于是检验的p 值为

p 值小于0.05, 在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5, 故符号秩和检验统计量为在使用中是完全等价的），这是一个单边假设检验，检验拒绝域为

下，可知

跟比材料B 的耐穿，二者结果一致

2． 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果为n 次测量结果的算术平均值，为保证有少需要测量多少次？

【答案】因为

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

或

. 此处15个差值为

，故可算出检验统计量值为

，

（正号和负号，在给定n=15

，

，观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料A 制成的后

服从正态分布

记问至

的把握使平均值与实际值a 的差异小于, 所以根据题意可列如下不等式

由此查表得

从中解得

取

即可以

的把握使平均值与实际值a

的差异小于

3． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8, 问:

（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.

（2）因

为

. 而当

4． 设总体X 服从二项分布与p 的矩估计.

【答案】因为有两个未知参数，所以要用1, 2阶原点矩. 由二项分布可知

解方程组

将第一式代入第二式，有:

所以

用

分别代入上式的

得

代入第一式，得

因为m 为正整数，故

其中表示取整数.

5． 设

，试证:

时，有P （AB ）达到最小值0.4.

其中

为未知参数，

为X 的一个样本，求m

所以

有

所以当

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

的可能取值范围为

.

且

是区间

上的严格

单调增函数，其反函数为. . 所以Y 的密度函数为

这正是的密度函数.

6． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P （X=Y）.

【答案】

7． 设随机变量X 和Y 独立同服从参数为的泊松分布，令

求U 和V 的相关系数【答案】因为

所以

由此得

8． 设随机变量X 服从区间与Y 不相关，即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为即X 与Y 不相关.

所以

上的均匀分布，

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

二、证明题